פיתוח מנהיגות

בעיית מזיגת היין

(מתוך "חושבים אחרת" – אילן אליאור 2000)

שלוש כוסות יין עם דפנות בעלות עובי זניח הניצבות לבסיס, מכילות את כמויות היין הבאות: (הבעיה נלקחה מתוך ירחון "סטטוס" נובמבר 1994)
50 מ"ל בכוס שקיבולתה 80 מ"ל.
30 מ"ל בכוס שקיבולתה 50 מ"ל.
20 מ"ל בכוס שקיבולתה 30 מ"ל.
עליך להגיע ל - 60 מ"ל יין בכוס הגדולה.
תמונות הדרכה לבעיית מזיגת היין תמונות הדרכה לבעיית מזיגת היין תמונות הדרכה לבעיית מזיגת היין
20 מ"ל בכוס של 30 מ"ל 30 מ"ל בכוס של 50 מ"ל 50 מ"ל בכוס של 80 מ"ל
אני משער שהשאלה הראשונה שעלתה אצל הקורא עם קריאת השאלה הייתה: 'בכמה מזיגות יש לבצע את המטלה?'. קשה לנו לגשת לפתרון מבלי לקבל עוגן שניתן יהיה להיאחז בו בתהליך הפתרון. אתייחס לצורך זה בשלב הסיכום לפתרון בעיה זו.
ועתה לפתרון עצמו.
סוג אחד של פתרונות מתבסס על הגישה המתמטית. על פי גישה זו כל כלי נתפש כבעל נפח ידוע ותכולה ידועה וע"י משחקי העברה של הנוזלים מכלי לכלי ניתן להגיע לתכולה הרצויה - תוך חשיבה על פעולות אלמנטריות של חיבור וחיסור.
א. שופכים מהכוס הגדולה 20 מל' לכוס הבינונית (כלומר ממלאים אותה עד סופה), מה שמותיר אותנו עם 30 מל' בכוס הגדולה. עתה נמלא את הכוס הקטנה עד סופה (30 מל') בעזרת הכוס הבינונית. נותר רק להעביר את תוכנה של הכוס הקטנה אל הגדולה, והרי לכם 60 מל' בכוס הגדולה. - בפתרון זה שלושה צעדים.
ב. מוזגים ברצף את הנוזל מהכוס הגדולה לקטנה. ממשיכים במזיגה גם לאחר שהכוס האחרונה התמלאה, עד אשר הכוס הגדולה תתרוקן לחלוטין. בסוף התהליך נקבל כוס קטנה עם תכולה של 30 מל', כוס בינונית עם תכולה של 30 מל' וכוס גדולה ריקה. עתה לא נותר אלא להעביר את תכולת שתי הכוסות (הקטנה והבינונית) אל הכוס הגדולה על מנת שזו תכיל את 60 המל' הנדרשים. פתרון זה מכניס אלמנט נוסף שפעולת המזיגה אינה בהכרח העברת נוזל מכוס לכוס, אלא שכחלק מתהליך המזיגה ניתן לשפוך את תוכנה של הכוס החוצה.
הסוג הבא של הפתרונות משלב את החשיבה המתמטית תוך ניצול תכונות ומאפיינים של הנתונים במסגרת השאלה.
מה ידוע לגבי הכוסות:
- הן שקופות
- הן בעלות דופן בעובי זניח.
- צורת הכוסות היא גליל, אי לכך היטל הצד שלהן הוא מלבן.
- לא ידוע אם הכוסות הן בעלות בסיסים בקוטר זהה או שונה.
- דפנות הכוסות ניצבות לבסיסן.
הפתרונות הקודמים לא לקחו בחשבון אף לא אחת מהתכונות הנ"ל. כלומר, עובי דופן הכוסות, צורתן ושקיפותן לא היוו נתונים רלוונטיים לפתרון. הפתרונות התאפשרו גם בכוסות שאינן שקופות, עוביין אינו זניח וצורתן אינה מלבנית.
אם נתחשב במאפייני הכוסות במהלך הפתרון, יפתחו בפנינו אופציות נוספות לפתרון:
נתחיל בפתרונות שמתייחסות לכוסות כבעלות בסיס זהה כלומר ההבדל בנפח בא לידי ביטוי בגובה השונה של הכוסות.
אם ניקח בחשבון את ממד השקיפות, נוכל להתייחס לכוס כאל סרגל מדידה ולא כאל כלי בעל נפח בלבד. בכל כוס יש שלוש נקודות התייחסות למדידה - א. נפח הכוס. ב. גובה הנוזל בכוס שמהווה אינדיקציה לנפחו ג. המרחק מפני הנוזל ועד לקצה הכוס - אינדיקציה לנפח של ה'אין נוזל' בכוס.
ג. פתרון אחד הוא העברת 30 המל' שבכוס הבינונית אל הכוס הגדולה (כך שנפח הנוזל בכוס הגדולה יהיה כנפח הכוס - 80 מל'). לאחר מכן הצמדת הכוס הקטנה לכוס הבינונית והעברת הנוזל מהכוס הגדולה לכוס הבינונית עד שגובה הנוזל בכוס הבינונית ישתווה לגובהו בכוס הקטנה (כלומר, הועברו 20 מל' מהכוס הגדולה לבינונית) דבר שמותיר אותנו עם 60 מל' בכוס הגדולה.
תמונות הדרכה לבעיית מזיגת היין
תמונות הדרכה לבעיית מזיגת היין
בפעולה הראשונה אנו משתמשים בכוסות הבינונית והגדולה ככלי קיבול בלבד. בפעולה השניה ממשיכות שתי הכוסות להוות עבורנו כלי קיבול, אך הכוס הקטנה הופכת לסרגל מדידה, תוך ניצול ממד השקיפות.

ד. אם נשתמש בממד השקיפות ובצורת הכוס (גליל) בו זמנית ניתן להגיע לשני פתרונות נוספים בשתי מזיגות, פתרונות אלו אינם מחייבים הנחה של בסיסים שווים לשלושת הכוסות (הנחה שנדרשנו להניח בפתרונות הקודמים).
ד1. אם נשפוך נוזל מהכוס הגדולה החוצה עד מצב שבו פני הנוזל יהוו אלכסון של מלבן במבט צד (כפי שמתואר בציור), קו פני הנוזל יחלק את נפח הכוס לשני חלקים שווים כך שנפח הנוזל שיוותר יהיה 40 מל'.
תמונות הדרכה לבעיית מזיגת היין
עתה נוכל להוסיף את 20 המל' שבכוס הקטנה לכוס הגדולה ונקבל בכוס זו נוזל בנפח 60 מל'.
ד2. בפתרון זה אנו מבצעים את אותו תהליך של 'ניצול האלכסון' אך נשתמש בכוסות הבינונית והקטנה שמהן נמזוג נוזל אל הכוס הגדולה. מאחר ונפח הכוס הבינונית הוא 50 מ"ל ותכולתה 30 מ"ל, ב 'מזיגת אלכסון' אל הכוס הגדולה נעביר אליה 5 מ"ל נוזל. במזיגה דומה מהכוס הקטנה (נפח 30 מ"ל) נעביר לכוס הגדולה 5 מ"ל מה שמותיר אותנו עם 60 מ"ל בכוס הגדולה. הנקודות המעניינות בפתרונות אלו הן: א. שימוש רק בחלק מהמשאבים - לא הזדקקנו לכוס הבינונית בכל התהליך (בפתרון ד1). ב. שני הפתרונות בניגוד לפתרונות הקודמים מדגישים את תהליך המזיגה - הטיית הכוס, ולא את מטרת המזיגה בלבד.

ה. פתרון זה כמו הפתרון השלישי לוקח בחשבון את ממד השקיפות אך מניח עדיין שבסיסי הכוסות הם בעלי גודל זהה. בנוסף להתייחסות לממדים אלה ההנחה מאחרי הפתרון היא שניתן להרים כוס לא לצורך מזיגה בלבד אלא לצרכים אחרים שיסיעו בפתרון.
נרים את הכוס הקטנה עד שקו גובה פני הנוזל בכוס יתלכד עם קו גובה פני הנוזל בכוס הגבוהה. שפת הכוס הקטנה תציין מרחק השווה לנפח של 10 מל' נוזל בין פני הנוזל ושפת הכוס. מכאן שנוכל להוסיף נוזל מהכוס הבינונית לכוס הגדולה עד שגובה פני הנוזל ישתווה עם שפת הכוס הקטנה.
תמונות הדרכה לבעיית מזיגת היין
השימוש שעשינו בכוס הקטנה במקרה הזה בדומה לפתרון השלישי הוא סרגל מדידה. אך בעוד שבפתרון השלישי התייחסנו לגובה הנוזל כסמן, הרי שבפתרון זה אנו מתייחסים לגובה של ה 'אין נוזל' כסמן, דבר שמאפשר לנו פתרון במזיגה אחת בלבד.

ו. בפתרון האחרון הכנסנו אלמנט חדש של הרמת הכוס שלא לצורך מזיגה אלה לצורכי מדידה בלבד. המדידה השתמשה בגובה פני הנוזל בכוס הקטנה כמדד. ניתן להשתמש גם בתחתית הכוס הקטנה כנקודת ציון. אם נצמיד את הכוס הקטנה אל הגדולה כך שגובה פני הנוזל בכוס הקטנה יהיה בקו אחד עם שפת הכוס הגדולה. עתה נמלא נוזל בכוס הגדולה באמצעות הכוס הבינונית עד שגובה הנוזל בכוס הגדולה יגיע לגובה תחתית הכוס הקטנה. והרי לפנינו פתרון נוסף במזיגה אחת בלבד.
תמונות הדרכה לבעיית מזיגת היין
ז. שני הפתרונות הבאים מתייחסים לכוסות כבעלות בסיסים שונים - הכוס הגדולה כבעלת הבסיס הגדול ביותר. הממד שנתייחס אליו עתה הוא העובי האפסי של דפנות הכוסות. לאור עובדה זו נוכל להשתמש בעקרון של דחיית נוזל שבכוס ע"י גוף אחר המוכנס לכוס. נכניס את הכוס הבינונית לגדולה כך שגובה השפות של שתי הכוסות יהיה זהה. הכוס הבינונית תתפוס נפח של 50 מל' בכוס הגדולה ולכן יוותרו בכוס 30 מל' בלבד (על-מנת להשלים ל 80) ו 20 מל' ישפכו החוצה. עתה נוציא את הכוס הבינונית ונשפוך את תכולתה אל הכוס הגדולה.
תמונות הדרכה לבעיית מזיגת היין
פתרון זה שוב בדומה לפתרון הרביעי משתמש רק בשתי כוסות ובשתי מזיגות. במקרה זה מהווה הכוס הבינונית עצם בעל נפח (במזיגה הראשונה) וכלי מזיגה במזיגה השניה.

ח. בפתרון זה נתייחס לממד השקיפות ולעובי האפסי של דפנות הכוסות. נכניס את הכוס הקטנה לכוס הגדולה כך שגובה פני הנוזל בכוס הקטנה יהיה בגובה שפת הכוס הגבוהה (נפח של 20 מל' מהכוס הגדולה ייתפס ע"י הכוס הקטנה) . עתה נמזוג נוזל מהכוס בינונית לגדולה עד שגובהו יגיע לשפת הכוס הגדולה. נוציא את הכוס הקטנה, ובגדולה יוותרו 60 מל' כנדרש וכל זאת במזיגה אחת בלבד מהכוס הבינונית לגדולה.
בפתרון זה משמשת הכוס הקטנה בו זמנית כעצם בעל נפח וכסרגל מדידה. הכוס הבינונית משמשת ככלי מזיגה והכוס הגדולה ככלי תכולה.
תמונות הדרכה לבעיית מזיגת היין
לסיכום, לא הוגדר בבעיה זו מספר המזיגות שבאמצעותן יש לבצע את המטלה, כפי שביומיום לא מוגדר לנו מספר החלופות שעלינו למצוא לבעיות בהן אנו נתקלים. מכאן שמספר הצעדים לביצוע ייגזר ממספר החלופות שנעלה לפתרון הבעיה. ככל שנעלה מספר חלופות רב יותר, יגבר הסיכוי להגיע לחלופות חסכוניות עם מספר צעדים קטן יותר. כאן צריך להתבסס על עוגן פנימי. כלומר אנו צריכים לחפש את הפתרון האופטימאלי מבלי שנדע אם הפתרון אליו הגענו הוא אכן כזה. אני מציע כי העוגן שנאחז בו יתבסס על הצבת שני קריטריונים במהלך פתירתה של בעיה. הקריטריון האחד הוא קריטריון הזמן - משך הזמן שאנו מקצים לחיפוש אחר החלופות לפתרון. הקריטריון השני הוא מספר החלופות לפתרון שעלינו למצוא. ברגע שהוצבו שני הקריטריונים, קבענו לעצמנו עוגן פנימי. כך, שברגע שאחד מהם הושג ניתן לחדול מהעיסוק בפתרון הבעיה.

כל הזכויות שמורות ל - BeHave בע"מ